第５章 数学科 数学Ⅲ
１．目標および内容
1．目標
「数学Ⅲ」は，特に数学を必要とする方面に進もうとする生徒および数学に深い関心を持つ生徒に対して，「数学Ⅱ」に引き続き，数学科の目標をさらに高い程度において達成しようとする科目であって，主として次のことを目標とする。
(1) 近似・極限および確率などの数学的な考え方の意義を知り，これらによって，事物現象を数学的に表現する能力を養う。
(2) 微積分の基本的な概念や法則を理解し，これらに基づいて，初等的な函数を実際に応用する能力を養う。
(3) 確率・統計の基本的な概念や法則を理解し，これを実際に応用する能力を養う。
(4) 数学と他の科学との関係の理解を深める。
(5) 論理的に筋道を立てることの意味を理解し，その能力を養うとともに，いろいろな場合に，前提と結論との関係や論理の進め方に注意を払う習慣を身につける。
(6) 数学的な物の見方・考え方の意義を知るとともに，これらに基づいて，ものごとを的確に処理する能力と態度とを身につける。
「数学Ⅲ」を５単位として履修させる場合には，上記の目標のすべてにわたって指導を行うことが必要である。「数学Ⅲ」を３単位として履修させる場合には，上記の目標のうち，確率および統計に関するものは除いて指導する。
2．内容
(1) 数学的内容と中心概念との関係は「数学Ⅱ」の場合と同じである。
(2) 「数学Ⅲ」を５単位として指導する場合は，次にあげる内容のすべてにわたって指導する。「数学Ⅲ」 を３単位として指導する場合には，次にあげる内容のうちｄ順列と組合せ，およびｅ確率と統計を除く。
(3) 中心概念の欄では，新たに取り上げられるものとともに，「数学Ⅰ」，「数学Ⅱ」で指導したものも，かっこの中に付記しておいた。後者についても機会あるごとに指導することが必要である。
等差数列とその和
等比数列とその和
その他の数列
数列の極限
無限等比級数
ｂ 微分
微分係数・導函数およびその応用
微分の計算
三角函数の微分
ｃ 積分
極限としての面積・体積
定積分の意味と計算，およびその応用
ｄ 順列と組合せ
順列・組合せ
二項定理
ｅ 確率と統計
確率の意味
確率の乗法定理・加法定理
二項分布
推測統計
ａ 概念を記号で表わすこと。
操作の記号化
（記号・文字による一般的表現，文字式，式の形，記号と対象との対応）
ｂ 概念・法則などを拡張したり，一般化したりすること。
（拡脹の原理）
ｃ 演繹的な推論によって知識を体系だてること。
数学的帰納法
（公理・定義，定理・命題，証明，必要条件・十分条件・同値関係）
ｄ 函数の大域的な性質や局所的な性質をとらえること。
（連続的変化，極限，函数値の増減，周期性，極大・極小）
ｅ 統計的な事象を量的にとらえること。
ｆ 極限によって量をとらえること。
ｇ 式や図形について不変性を見いだすこと。
ｈ 解析的方法と図形的方法との関連。
（函数のグラフ，曲線を表わす方程式）
２．内容の説明
数 学 的 内 容
「数学Ⅲ」は，微積分および確率統計を主要な内容とした科目で，これらを応用している科学的な方面に進む場合の基本を作ることがねらいであるが，その取扱の程度には，高等学校の生徒に適した扱いが考慮されなければならない。微積分や統計・確率について，厳密な論理で進めていくことは，生徒にとって困難であり，適当ではない。極限に関する事項などは直観的に扱い実際的な応用とのつながりを主体として指導し，平易な内容をある程度の習熟をもって使いこなすことをねらいとするのが適当である。以下にあげる内容は，上記のような考慮から，平易な内容を主体として選んだものである。生徒の能力から考えて，可能であれば，なおこれに応用の実例や，応用面の広い内容を付加することもあってよい。
ａ 数列および級数
自然数に対応する函数として数列をとらえ，その値の変化の様子を式やその極限の考察から明かにする。簡単な場合に，その和を求めることも扱う。
(1) 一般項の概念を朋らかにし，等差数列・等比数列を扱う。
(2) 等差数列・等比数列の和の公式や，その応用を扱う。
(3) その他の数列については，Σｎ２，Σｎ３の程度の簡単な数列の和の公式を導くことを扱う。
(4) 上記に関連して数学的帰納法を扱う。
注１．数学的帰納法は，必ずしもこのように扱わなくともよい。たとえば，二項定理などとの関係で指導する場合もあってよい。
２．「数学Ⅲ」を３単位として課す場合には，数列に関連して二項定理を扱う。
(5) 具体的な数列について，番号が限りなく大きくなるとき，項の値がどのように変化するかを調べ，収束・発散の意味を明らかにする。実際に扱うのは，｛１／ｎ｝，｛ｒｎ｝などで極限の存在を認める程度とする。
(6) 無限等比級数について，その収束・発散を扱い，収束条件を明らかにする。
(7) 無限小数の意味を明らかにし，循環小数と有理数との関係を扱う。
用語と記号
数列 項 第ｎ項 一般項 等差数列 公差 等比数列 公比 無限数列 収束 発散無限等比級数 （無限）級数 循環小数 純循環小数 混循環小数 無限小数 ａｎ Σ
ｂ 微分
「数学Ⅱ」の変化率を一般化して微分係数や導函数の概念を明確にし，有理整函数・簡単な有理分数函数および無理函数・三角函数の範囲での，形式的な微分の計算やその応用に習熟させる。
(1) 微分係数・導函数・第二次導函数について，その数学的な意味や，速度・加速度のような具体的な意味を明らかにする。
(2) 函数の和・差・積・商および変数変換の微分公式を扱い，形式的な計算に習熟させる。
(3) sin（ax＋b），cos（ax＋b）のような一次函数の三角函数の程度を越えない範囲で，三角函数の微分やその応用を扱う。
(4) 導函数および第二次導函数を用いて，函数値の変化の状態を調べたり，極大・極小の問題を解いたりする応用を扱う。
(5) 近似式ｆ（ａ＋⊿ｘ）＝ｆ（ａ）＋ｆ´（ａ）⊿ｘを明らかにし，これによって，簡単な函数についての近似計算やｆ（ａ＋⊿ｘ）の値をｆ（ａ）としたときの誤差評価を扱う。
注1. 指数函数，対数函数を微分することは内容に含めない。しかしこのきわめて概路の事項にふれておくことは，場合によっては有意義なこともある。
2. 媒介変数で表示した函数の微分公式や，これを用いるものは扱わない。
3. 逆三角函数にはふれない。
用語と記号
微分係数 微分する 導函数 第二次導函数 速度 加速度 近似 近似式
⊿ｘ ⊿ｙ ｙ´ ｄｙ／ｄｘ ｙ〃 ｆ〃（ｘ） ｄ２ｙ／ｄｘ２
ｃ 積分
長さ・面積・体積などの量が極限を考えることによって正確にとらえられること，ならびに極限による計量が多くの場合に積分となることを明らかにし，積分の応用や計算に習熟させる。
(1) 面積・体積・道のりなどの概念を明らかにし，一次式や二次式で表わされる数量関係に区分求積法を用いることを扱い，この場合に極限の考えが重要な役割をしていることを明らかにする。
(2) 定積分の意味を明らかにし，定積分によっていろいろな量を表わすことを扱う。
(3) 微分と積分との関係ならびに不定積分の意味を明らかにする。
(4) 積分が微分の逆の操作であることを利用して定積分を計算することを扱う。積分計算の対象は，ｂにおける微分の逆として求められるものの程度とし，積分特有のくふうを要するもののは扱わない。
(5) 定積分の数直を求める近似解法として，台形公式やシンプソンの公式を扱う。
注1. ・∫１／ｘ ｄｘは内容に含めない。
2. 置換積分法および部分積分法は内容に含めない。
用語と記号
区分求積法 定積分 積分する 不定積分 積分定数 台形公式 シンプソンの公式 ∫haｆ（ｘ）ｄｘ ∫ｆ(ｘ)ｄｘ
ｄ 順列と組合せ
具体的な事象において，起りうる場合の数を整理し，数えやすくする方法を明らかにし，確率計算への準備とする。また，これに関連して，指数が正整数の場合の二項定理を扱う。
(1) 順列および組合せの考え方を明らかにし，その公式と公式の応用とを扱う。重複順列や重複組合せなどは，その考え方はあってもよいが，記号ｎΠｒ，ｎＨｒなどは内容に含めない。
(2) 二項式の累乗を展開した場合の係数の間の関係を明らかにし，二項定理を扱う。
用語と記号
順列 組合せ 階乗 二項定理 二項係数 ｎＰｒ ｎＣｒ
ｅ 確率と統計
確率の概念を明らかにし，「数学Ⅰ」で記述統計的な立場から取り扱ったものに対して，確率の考えを加味し，統計に対する見方を深める。
(1) 死亡率・男女比等の実例を通して，統計的な確率の意味やその意義を扱う。
(2) 実例について，数学的確率と統計的な割合とが等しいことを認めさせ，確率の概念を明らかにする。
(3) 数学的期待値の意味を明らかにする。
(4) 具体的な例について，既知の確率をもとにして複合した事象の確率を計算することを扱う。
(5) 事象の独立・従属・排反の概念を明らかにし，確率に関する乗法定理・加法定理を扱う。
(6) 一定な確率をもつ事象が，何回ものくり返しの中に現れる回数を計算することによって，二項分布の意味を明らかにする。
(7) 具体的な場合について，期待値やそれに近い値を得る確率を計算して，大数法則にふれる。
(8) 統計的な法則の意味，これに基づいて判断を下す場合の注意事項，資料の信頼性などについて簡単にふれる。
(9) 身近な実例や実習を通して，標本調査による平均値の確からしさや，標本調査で全体を推定するときの注意，実際に行われている標本調査の方法などにふれる。
注１．推測統計については，実例や実習によってその意味を知る程度にとどめる。いわゆる推計学を理論的に学習することは，数学Ⅲの内容とはしない。
２．「数学Ⅰ」で統計を扱わなかった場合には，まず記述統計の基本的事項としての代表値，標準偏差を扱う。
用語と記号
確率 期待値 独立事象 従属事象 排反事象 乗法定理 加法定理 二項分布
大数法則 標本 母集団 標本調査 標本平均 抽出
中 心 概 念
「数学Ⅲ」の中心概念は，「数学Ⅰ」「数学Ⅱ」の中心概念のうち，「数学Ⅲ」の内容に即したものはひきつづきそのまま取り上げるとともに，そのいくつかについては，新たに発展した内容のものが付け加わる。ここでは新しく付け加わるものについて説明することにする。
ａ 概念を記号で表わすこと。
「数学Ⅲ」では，数列の和を求める，極限を求める，微分する，積分するなどの新しい数学的な操作が考えられてくるが，これらの操作をそれぞれ適切な記号で表わし形式的な扱いが見やすくなるように記号の使い方を定める。その結果，これを一つの演算記号と考えてその法則化を目ざすような研究分野が生れ，それによって操作そのものが機械化されていく。このような考え方が「数学Ⅲ」では新たに加わる。
ｂ 概念，法則などを拡張したり，一般化したりすること。
この考えは，「数学Ⅰ」，「数学Ⅱ」にも表われてきているが，「数学Ⅲ」では，既知の事項を特殊な場合として含むような一般化をくふうして，研究成果をいっそう広くしていく考え方が特に強調される。
ｃ 演繹的な推論によって知識を体系だてること。
数学的帰納法は，すでに数学的内容の欄の説明でふれておいたが，この考えを単に数列や二項定理の証明の技巧としてのみ扱わず，そのもつ演繹的な性格を明らかにして扱うことが必要であろう。
ｅ 統計的な事象を量的にとらえること。
ｆ 極限によって量をとらえること。
この二項については，それぞれ数学的内容の説明で述べたところと重複するので省略する。