１．目標および内容

　1．目標

　「数学Ⅰ」は，代数および幾何の初等的基本的な分野の学習を通じて，数学的な考え方の基本を会得させ，あわせて，他教科ならびに数学科の他の科目の学習に必要な基盤を作ることをねらう科目であって，主として次のことを目標とする。

　
 

代　数　的　内　容	幾　何　的　内　容
ａ　函数の概念 一次函数 二次函数 一般の比例 ｂ　数・式の取扱い 整式の四則，因数分解 簡単な分数式と無理式 平方根数の計算 ｃ　方程式 連立方程式 二次方程式，根の公式 不等式の解法 不等関係の証明 ｄ　対数 指数の拡張 対数の定義と性質 対数計算 計算尺の原理 ｅ　統計 資料の整理 代表値・標準偏差 相関関係・相関係数	ａ　直線図形の性質 三角形の合同 三角形・四辺形の性質 比例と相似形 ｂ　円の性質 円周角 直線と円，円と円との関係 円と三角形 円と多角形 ｃ　軌跡および作図 基本的な作図 軌跡としての直線・円 いろいろな曲線 ｄ　空間図形 直線・平面の結合関係・位置関係 正射影および投影図への応用 ｅ　三角函数 180°までの三角函数 三角函数の基本的な性質 正弦法則・余弦法則 三角形の面積公式

中　　心　　概　　念

ａ　概念を記号で表わすこと。 記号・文字による一般的表現 文字式 式の形 ｂ　概念・法則などを拡張すること。 拡張の原理 ｃ　演繹（えき）的な推論によって知識を体系だてること。 公理・定義 定理・命題 証明 ｄ　対応関係・依存関係をとらえること。 函数的関係 統計的関係 図形的な対応関係・依存関係 命題の論理的依存関係 ｅ　式や図形について不変性を見いだすこと。 ｆ　解析的方法と図形的方法の関連。 函数のグラフ

　「数学Ⅰ」における代数的内容の主眼は，代数的な表現がいろいろな事物現象の表現に用いられているゆえんを明らかにし，その能力を得させることにある。すなわち，数量的な関係の表わし方として，式で表わされた函数，方程式，不等式および統計的な表現についての基本的な事項を指導するもので，その扱いは，平易な程度を中心とするものである。なおここには，実際的な応用を内容として示すことはしなかったが，これは第２章に述べた主旨によって適宜補うことが必要である。

ａ　函数の概念

　独立変数をしだいに増加させていって，それに対する従属変数の増加減少の様子をとらえることによって，函数の特徴を明らかにする。そして，いろいろな現象が函数として数学的にとらえられることを明らかにする。

(1)　一次函数について，式とグラフとの対応関係を明らかにする。

(2)　二次函数を平方完成して，そのグラフの対称性，頂点の位置，函数の最大値・最小値など，二次函数の特徴のとらえ方を扱う。

(3)　直線や放物線について簡単な平行移動とそれに伴う式の変化とを扱う。

(4)　２乗に比例（反比例）する場合，平方根に比例（反比例）する場合などの函数関係について，その特徴や式の形とグラフとの対応関係を明らかにする。

(5)　２変数の函数の例として，複比例を扱う。

用語と記号

　変数　函数⁽¹⁾　（２乗・平方根に）比例　（２乗・平方根に）反比例　複比例　一次函数　切片　傾き⁽²⁾　二次函数　放物線　直角双曲線　（上に，下に）凸　最大　最小　平行移動　ｆ(ｘ)

注　(1)「函数」は当分の間やはりこの文字を用いる。ただし，関数と書くこともあることにふれることは必要である。凸・錐・楕円についても同じように扱う。

　　(2)「こうばい」という用語を用いないで，「傾き」を用いる。

ｂ　数・式の取扱

　目的に応じて式を変形したり，ある文字に着目して式を整とんしたりすることに慣れさせ，代数式の扱いが，式の形に対する見通しをはっきりさせることによって，きわめて機械的にできるようになることを明らかにする。

(1)　整式の四則についての基本的な法則を明らかにし，四次ぐらいの範囲内でその計算を扱う。

(2)　乗法公式を逆に用いる程度の因数分解を扱う。ただし，二次三項式，ａ³±ｂ³の因数分解の程度までを一般の内容とする。

(3)　上記の因数分解によって求められる整式の最大公約数，最小公倍数を扱う。

(4)　簡単な分母をもった分数式の計算を扱う。

(5)　平方根数の計算や分母の有理化などを扱い，平方根数の取扱いに慣れさせる。

(6)　比例式の基本的な性質を扱う。

用語と記号

　単項式　多項式　次数　恒等式　整式　分数式　有理式　無理式　比例式　交換法則　　結合法則　分配法則　因数　共通因数　因数分解　展開　既約分数　有理化　｜α｜

ｃ　方程式

　方程式・不等式・連立方程式の意味を理解し，その解き方に慣れさせるとともに，その解法が，代数的な式を用いて演繹推理を行っているものであることを明らかにする。

(1)　一次と一次，一次と二次の連立方程式を扱う。この自然な発展として，一方が簡単に因数分解できる二次と二次との連立方程式までは扱うことがあってよいが，特殊の技巧を要するものは扱わない。

(2)　主として，数係数の二次方程式について，根の公式の用法および判別式による実根，虚根の区別を扱う。

注　二次函数・二次方程式の理論に関連して，二次式の係数をパラメトリックに変化させて考察することまでは，一般には必要ではない。また，二次式の因数分解などから，根と係数の関係に自然に発展することは，あってもよいが，根と係数の関係を新しい出発点として考察する程度のものは，扱わないほうが，適当であろう。

(3)　複素数の意味を明らかにし，その簡単な四則計算を扱う。

(4)　不等式の基本的な性質および一次不等式・二次不等式の解法を扱う。

(5)　完全平方の形に導いて証明できる程度の簡単な不等関係の証明を扱う。

用語と記号

　有理数　無理数　実数　虚数　虚数単位　複素数　元　二次方程式　判別式　完全平方　式　実根　虚根　（二）重根⁽¹⁾　消去（法）　代入（法）　加減法　不能　不定　不等式　絶対不等式　条件つき不等式

注　(1)「等根」という用語は用いない。 ｄ　対数

　形式不易の原理に基く指数拡張の考え方を通して，累乗のひとつの逆演算として対数を導入し，代数的な演算がすべて可逆になるようにする。また対数計算に慣れさせることによって，代数的な考え方を深める。

(1)　指数拡張の原理と，対数の意味とを明らかにする。

(2)　いろいろな底の場合も，常用対数に帰着させることができることを明らかにする。

(3)　常用対数を用いる計算法を扱う。

(4)　比例部分の原理を扱う。

(5)　計算尺の原理を明らかにし，その使用法にふれる。

用語と記号

　累乗　累乗根　指数法則　対数　対数の底　真数　常用対数　指標　仮数　比例部分　　loga　log_aｍ

ｅ　統計

　自然現象や社会現象における統計的な現象の数学的な表現の方法として記述統計の基本的な事項を扱い，その役割を明らかにする。

(1)　統計的な資料の整理のしかたを中心として扱い，その集め方にもふれる。

(2)　資料の特徴を表わす数の意味を明らかにし，その計算法を扱う。ただしあまり複雑な計算は避け，平均偏差・四分偏差は扱わない。

(3)　二つの変量の間の関係を統計的に見る方法の一つとして，相関関係や相関係数を扱う。ただし，相関係数は，説明する程度にとどめる。

用語と記号

変量　度数　分布　階級　範囲　ヒストグラム　代表値　相加平均　モード　メジアン　偏差　標準偏差　相関　相関表　相関図　相関係数

　幾何的内容の主眼は，幾何図形の初等的基本的な性質を明らかにして，これを用いる能力を得させるとともに，これを通して，体系的に論理を進めていく方法を会得させることにある。図形の性質については，基本的で平易なものを中心としてしっかりこれを身につけさせることをねらうべきで，この意味から取り扱う問題等はかなりに精選することが必要である。また，関連ある定理は，これを個々別々なものとして扱わず，できるだけ広い統一的な立場からまとめ，その関連性を明らかにすることが望ましい。

　また論理的な扱いの程度は，代数的な内容の指導とも合わせて，生徒のもつ論理性を自然に伸ばしていくという観点から扱うべきで，その意味から論理の出発点としての公理や定義の重要性には重点をおくが，公理群の範疇（ちゅう）性，独立性には重点をおかない。特に空間における公理の取り方やこれにも基づく証明の扱い方においては，教育的な配慮が必要で，生徒の能力を越えた独立性等を要求すべきでない。

ａ　直線図形

　進んだ数学の学習に対しても基本的であり，かつ応用も広い直線図形の性質を中心として指導する。多くの場合論証への導入もこれに関連して扱う。

(1)　図形についての公理を朋らかにし，これに基づいて二等辺三角形・直角三角形・平行四辺形など，特殊な三角形・四辺形の基本的性質を扱う。

(2)　三角形の辺と角の大小関係を扱う。

(3)　平行線と比例の基本的関係ならびに相似形の性質を扱う。

(4)　多角形の面積についての基本的な性質を扱う。

用語と記号

　命題　公理　定義　証明　定理　系　条件　仮定　結論　逆　裏　対偶　背理法(1)

　同位角　錯角　対頂角　余角　補角　内角　外角　多角形　線分　半直線　対辺

　中線　内分　外分　重心　／／　⊥　≡　∽　△　□

注　(1)　帰謬法という用語は用いない。

ｂ　円の性質

　円の基本的な性質を明らかにし，円と直線・三角形・四辺形等との関係を理解させる。

(1)　弧・弦・中心角・円周角などの基本的な関係を扱う。

(2)　直線と円，円と円との位置関係，およびそれらが接するための条件ならびに二つの円の共通接線を扱う。

(3)　三角形の内心・外心および内接円・外接円の基本的な性質を扱う。

(4)　円に内接，外接する四辺形の性質，および円と正多角形との関係を扱う。

方べきの定理は，これを導く程度にとどめ，それ以上深くは扱わない。

(5)　弧度法ならびに，これによって弧の長さや扇形の面積を表わすことなどを扱う。

用語と記号

　弧　優弧　劣弧　弦　円周角　内接　外接　内接円　外接円　割線　接線　接点　接する　共通接線　中心線　同心円　弓形　内心　外心　ラジアン

ｃ　軌跡および作図

　図形の見方の一つとして，それを動的に見る考え方や図形の決定条件などを理解させ，図形についての考え方を発展的にする。

(1)　作図の公法を明らかにし，直線・円・三角形・四辺形・分点などについての基本的な作図とその証明を扱う。

(2)　軌跡の概念を明らかにし，軌跡が平行線・垂直二等分線・角の二等分線・円などになるものを扱う。

　すべての軌跡について，求める図形上の点がすべて条件を満たすことを証明することは要求しないでよい。一般には，条件に適する点がある図形上にあることを証明し，その図形について限界を直観的に確かめる程度にとどめる。

(3)　軌跡の作図への応用にふれる。

(4)　軌跡がいろいろな曲線となる例として，楕円・双曲線・放物線およびその他の曲線（たとえばサイクロクド）を扱う。ただし，それらの曲線については，正確に点を求めて図を描いてその形を知る程度とし，解析的には扱わない。

用語と記号

　作図　軌跡　楕円⁽¹⁾　双曲線

注(1)　楕円については長円と書くこともあることにふれる。

ｄ　空間図形

　直線・平面などの空間における関係および空間図形について，その基本的な性質やとらえ方などを明らかにし，計量その他に応用する。

　ただし，内容は基本的なことを中心とし，深く扱うことによってむずかしくなることは避けなければならない。

(1)　空間についての公理を明らかにし，直線・平面などについての平行・垂直の意味を明らかにする。

(2)　二面角・正射影・三垂線の定理を扱う。

(3)　正多面体・球およびその他の曲面体の基本的な性質を扱う。

(4)　投影図における直線・平面の表わし方や，正射影の性質を利用した投影図の書き方などを扱う。

用語と記号

　空間　ねじれの位置　辺⁽¹⁾　四面体　平行六面体　正多面体　接平面　大円　小円　角錐台　円錐台　母線　二面角　正射影　（平面，直線の）跡

注(1)　多面体の「稜」という用語を用いないで「辺」を用いる。

ｅ　三角函数 　中学校における三角比を発展させ，180°までの三角函数の概念を明らかにし，これを図形の計量に適用して，図形と式との関連を明らかにする。

(1)　三角函数を180°まで拡張する。

(2)　三角函数について，補角・余角の公式や，同じ角の三角函数の間の関係を扱う。

(3)　正弦法則・余弦法則およびこれらを用いて三角形を解く方法を扱う。

(4)　三角函数を用いて三角形の面積を求めることや，ヘロンの公式などを扱う。

用語と記号

　コタンジェント（余接）　正弦法則　余弦法則　分　秒　ｃｏｔ

備考

1．必要条件・十分条件については，数学Ⅰの中の適当なところで扱うものとする。

2．用語については，文部省学術奨励審議会学術用語分科審議会が制定した数学用語を用いることを原則とする。

ａ　概念を記号で表わすこと。

　この意味は，数学的な概念を記号によって簡潔明確に表現したり，個別的にわかった数量的な関係を文字を使って一般的な形で表わしたりする数学的な記号の用い方についての考え方のことで，特に代数的な記号は，それを用いた式についての演算が形式的に整うように考えていく点に特徴がある。その結果として，式の形という見方が生れ，これが代数的に考えを進めていくときの目のつけどころになる。

ｂ　概念・法則を拡張すること。

　特殊な場合から出発して，いつも，もっと一般的に同じような形で定理が成り立つように，概念を拡張したり，法則を拡張したりしていく考え方をさす。数概念を拡張する場合に，演算法則の形式が不変になるように新しい概念を作っていくのもこれに当る。

ｃ　演繹的な推論によって知識を体系だてること。

　一群の知識に対して，それらの基礎になる事項を明らかにし，用語の意味を一義的に定め，それらから演繹的に他の事項が導かれることを確かめることによって，知識に体系をつけ，まとめていく考え方をさす。この際に証明・公理・定義のもつ役割がそれぞれ重要なものである。

ｄ　対応関係・依存関係をとらえること。

　数学においてとらえる関係は，多くは対応関係，依存関係としてである。変数の間の対応，依存の関係として函数の概念をとらえ，統計的な変量については，統計的関係としてとらえられる。また図形の性質などについても，これをその構成要素間の対応関係ないし依存関係と見ることができ，またそう見直すことによって，定理の意義が明らかになる場合が多い。同じような関係は，命題相互の間の論理的な関係にも見られる。必要条件・十分条件などという考えも，二つの事項を，一方を他方の条件と考えた場合に起る論理的な関係を表わしたものと見られる。

ｅ　式や図形について不変性を見いだすこと。

　円周角の定理は，角の頂点の変化に対して不変な性質を示すものであり二次函数のグラフの形が放物線であることは，二次式の係数が変化しても不変な性質である。このように，数学の定理には，その背後に変化しているものを予想し，その間の不変な関係としてはあくすることによって，その意味が深くとられるものが多い。対称・射影等の変形で不変な点・直線に着目したり，式の変形において式の値が不変であることに着目したりするのもその例である。

ｆ　解析的方法と図形的方法との関連。

　式で表わされた函数の特徴をとらえるのにそのグラフを利用したり，図形の性質を調べるのに代数式や三角函数を用いたりするように，解析的な方法（式による表現）と図形的な方法（図形による表現）の特徴やその間の対応を生かして用いていく考え方をさす。

３．「数学Ⅰ」６の単位の場合の内容の例

　「数学Ⅰ」を６単位として課す場合は，その課程にふさわしいように，目標の重点や内容の取捨を考えて組織する。したがって，中心概念もそれに応じてしぼられたものになるのは当然である。この結果６単位の内容は，各学校でそれぞれ異なったものとなるので，その共通なものを示すことは困難である。次に示すのは，この場合の三つの例であるが，各学校では，これを参考としてその学校にふさわしい内容を組織することが望ましい。

　例1．この例は，統計と空間図形を省いて，代数的な内容に重点をおいた場合の例である。この内容からは，「数学Ⅱ」へも「応用数学」へも続けることが可能であろう。

　
 

代　数　的　内　容	幾　何　的　内　容
ａ　函数の概念 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｂ　数・式の取扱い 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｃ　方程式 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｄ　対数 　９単位の場合とほぼ同じ内容	ａ　直線図形の性質 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｂ　円の性質 　９単位の場合の「円と多角形」を除き，その他を軽く扱う。 ｃ　軌跡および作図 　９単位の場合の「いろいろな曲線」を除き，その他も基本的なものにとどめ，軽く扱う。 ｄ　三角函数 　９単位の場合とほぼ同じ内容

　例2．この例は，三角函数と空間図形を省く場合の例である。この内容からは，応用数学へ続けることは可能であろう。

　
 

代　数　的　内　容	幾　何　的　内　容
ａ　函数の概念 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｂ　数・式の取扱い 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｃ　方程式 　９単位の場合の「不等式の解法」および「不等関係の証明」を除き，二次方程式については軽く扱う。 ｄ　対数 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｅ　統計 　９単位の場合とほぼ同じ内容	ａ　直線図形の性質 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｂ　円の性質 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｃ　軌跡および作図 　９単位の場合の「いろいろな曲線」を除き，その他は軽く扱う。

　例3．この例は，９単位の場合に指導する重要な概念・用語はひととおり学習する機会があるようにし，また実用的な面を多く取り入れた場合の例である。この内容から，後の数学科の科目を続けて履修する場合には，基礎的な技能の面でふじゅうぶんな点があるが，数学的な考え方を会得させることを主とする場合には，適するであろう。

　
 

代　数　的　内　容	幾　何　的　内　容
ａ　函数の概念 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｂ　数・式の取扱 　数表とその利用(1) 　計算尺の原理とその利用(2) 　整式の四則，簡単な因数分解(3) 　分数式 ｃ　方程式 　連立方程式 　二次方程式(4) 　方程式と不等式との関係(5) ｄ　統計 　９単位の場合とほぼ同じ内容	ａ　直線図形の性質(6) 　９単位の場合とほぼ同じ内容 ｂ　円の性質(6) 　直線と円，円と円の関係 　円と三角形 　円と多角形 ｃ　軌跡および作図　 　基本作図および実用的な作図を中心とし，これに関連して軌跡の概念，軌跡と作図との関連にふれる。

注(1)　平方根表・複利表などの利用および数列の和の公式を用いないですむ程度の実務に関係ある公式を扱う。

　(2)　計算尺の原理に関連して対数の意味と記号を扱う。

　(3)　簡単なものにとどめる。（文字も二つまで）

　(4)　数係数の方程式を主とし，文字係数はまとめとしてのみ扱う。

　(5)　函数のグラフに関連して，不等式の解を図示する程度に扱う。

　(6)　ａ．ｂの範囲に三角函数（鋭角）の利用を含め，計量的な扱いを多くする。また空間図形と関連できるところでは，直観的　　　に空間図形にふれ，空間についての用語は正しく理解させる。

　

例４．この例は，主として統計，空間図形と三角函数を省く場合の例である。この内容からは，「数学Ⅱ」へも「応用数学」へも続けることが可能である。
 

代　数　的　内　容	幾　何　的　内　容
ａ　函数の概念 　９単位の場合とはぼ同じ内容 ｂ　数・式の取扱い 　９単位の場合とはぼ同じ内容 ｃ　方程式 　９単位の場合とはぼ同じ内容 ｄ　対数 　９単位の場合の「計算尺の原理」を除く。	ａ　直線図形の性質 　９単位の場合とはぼ同じ内容 ｂ　円の性質 　９単位の場合とはぼ同じ内容 ｃ　軌跡および作図 　９単位の場合の「いろいろな曲線」を除く。 ｄ　空間図形 　直線・平面の結合関係・位置関係(1)

　注　(1)　空間図形についての用語は正しく理解させるが，論証的な面は軽く扱う。